Pour la première fois, l’apprentissage automatique a repéré des connexions mathématiques que les humains avaient manquées. Des chercheurs de la centrale d’IA DeepMind, basée à Londres, se sont associés à des mathématiciens pour s’attaquer à deux problèmes distincts, l’un dans la théorie des nœuds et l’autre dans l’étude des symétries. Dans les deux cas, les techniques d’IA ont aidé les chercheurs à découvrir de nouveaux modèles qui pourraient ensuite être étudiés à l’aide de méthodes conventionnelles.

« J’ai été très frappé par l’utilité des outils d’apprentissage automatique en tant que guide de l’intuition », déclare Marc Lackenby de l’Université d’Oxford, au Royaume-Uni, l’un des mathématiciens qui ont participé à l’étude. « Je ne m’attendais pas à ce que certaines de mes idées préconçues soient renversées. »

Les simulations informatiques et les visualisations de nœuds et d’autres objets ont longtemps aidé les mathématiciens à rechercher des modèles et à développer leur intuition, explique Jeffrey Weeks, un mathématicien basé à Canton, New York, qui a été le pionnier de certaines de ces techniques depuis les années 1980. Mais, ajoute-t-il, « amener l’ordinateur à rechercher des modèles amène le processus de recherche à un niveau qualitativement différent. »

Les auteurs disent que l’approche, décrite dans un article du numéro du 2 décembre de La nature¹, pourrait profiter à d’autres domaines des mathématiques qui impliquent de grands ensembles de données.

Maths contre machine

DeepMind, une société sœur de Google, a fait la une des journaux avec des percées telles que le crackage du jeu Go, mais son objectif à long terme a été des applications scientifiques telles que prédire comment les protéines se replient.

L’idée d’une collaboration en mathématiques a été déclenchée par une conversation informelle en 2019 entre le mathématicien Geordie Williamson de l’Université de Sydney en Australie et le directeur général de DeepMind, le neuroscientifique Demis Hassabis. Lackenby et un collègue d’Oxford, András Juhász, tous deux théoriciens des nœuds, ont rapidement rejoint le projet.

Initialement, le travail s’est concentré sur l’identification des problèmes mathématiques qui pourraient être attaqués à l’aide de la technologie de DeepMind. L’apprentissage automatique permet aux ordinateurs de se nourrir de grands ensembles de données et de faire des suppositions, comme faire correspondre une image de caméra de surveillance à un visage connu à partir d’une base de données de photographies. Mais ses réponses sont intrinsèquement probabilistes et les preuves mathématiques nécessitent une certitude.

Mais l’équipe a estimé que l’apprentissage automatique pourrait aider à détecter des modèles, tels que la relation entre deux types d’objets. Les mathématiciens pourraient alors essayer de déterminer la relation précise en formulant ce qu’ils appellent une conjecture, puis en essayant d’écrire une preuve rigoureuse qui transforme cette affirmation en certitude.

Parce que l’apprentissage automatique nécessite beaucoup de données pour s’entraîner, une exigence était de pouvoir calculer les propriétés d’un grand nombre d’objets : dans le cas des nœuds, l’équipe a calculé plusieurs propriétés, appelées invariants, pour des millions de nœuds différents.

Les chercheurs sont ensuite passés à la recherche de la technique d’IA la plus utile pour trouver un modèle reliant deux propriétés. Une technique en particulier, appelée cartes de saillance, s’est avérée particulièrement utile. Il est souvent utilisé en vision par ordinateur pour identifier les parties d’une image qui contiennent les informations les plus pertinentes. Les cartes de saillance indiquaient les propriétés des nœuds susceptibles d’être liées les unes aux autres et généraient une formule qui semblait être correcte dans tous les cas pouvant être testés. Lackenby et Juhász ont ensuite fourni une preuve rigoureuse que la formule s’appliquait à une très grande classe de nœuds².

« Le fait que les auteurs aient prouvé que ces invariants sont liés, et d’une manière remarquablement directe, nous montre qu’il y a quelque chose de très fondamental que nous, sur le terrain, n’avons pas encore pleinement compris », déclare Mark Brittenham, un théoricien des nœuds au Université du Nebraska-Lincoln qui utilise fréquemment des techniques informatiques. Brittenham ajoute que bien que l’apprentissage automatique ait déjà été utilisé dans la théorie des nœuds, la technique des auteurs est nouvelle dans sa capacité à découvrir des connexions surprenantes.

Résoudre les symétries

Williamson s’est concentré sur un problème distinct, concernant les symétries. Les symétries qui basculent autour d’ensembles finis d’objets jouent un rôle important dans plusieurs branches des mathématiques, et les mathématiciens les étudient depuis longtemps à l’aide de divers outils, notamment des graphiques – de grands réseaux abstraits reliant des milliers de nœuds – et des expressions algébriques appelées polynômes. Pendant des décennies, les chercheurs ont soupçonné qu’il serait possible de calculer les polynômes à partir des réseaux, mais deviner comment le faire semblait être une tâche sans espoir, dit Williamson. « Très vite, le graphique dépasse l’entendement humain. »

Avec l’aide de l’ordinateur, lui et le reste de l’équipe ont remarqué qu’il devrait être possible de décomposer le graphique en parties plus petites et plus faciles à gérer, dont l’une a la structure d’un cube de dimension supérieure. Cela a donné à Williamson une conjecture solide sur laquelle travailler pour la première fois.

« J’ai été époustouflé par la puissance de ce truc », a déclaré Williamson. Une fois que l’algorithme s’est concentré sur un motif, il a pu deviner très précisément quels graphiques et polynômes provenaient des mêmes symétries. « La rapidité avec laquelle les modèles devenaient précis – c’était pour moi tout simplement choquant », dit-il. « Je pense que j’ai passé un an dans l’obscurité à sentir que les ordinateurs savaient quelque chose que je ne savais pas. »

La question de savoir si la conjecture de Williamson se révélera vraie est encore une question ouverte. Les conjectures mettent parfois beaucoup de temps à se fissurer pour la communauté mathématique, mais elles peuvent aider à façonner des domaines entiers.

Applications plus larges

Tout au long du projet, les chercheurs ont dû adapter les techniques d’IA aux deux problèmes mathématiques différents, explique Alex Davies, informaticien chez DeepMind. « Au départ, nous ne nous attendions pas à ce que ce soient les techniques les plus utiles », dit-il.

« Tout domaine des mathématiques où des ensembles de données suffisamment volumineux peuvent être générés pourrait bénéficier de cette approche », déclare Juhász, ajoutant que les techniques qu’ils ont démontrées pourraient également trouver des applications dans des domaines tels que la biologie ou l’économie.

Adam Zsolt Wagner, mathématicien à l’Université de Tel Aviv, en Israël, qui a utilisé l’apprentissage automatique, affirme que les méthodes des auteurs pourraient s’avérer utiles pour certains types de problèmes. « Sans cet outil, le mathématicien pourrait perdre des semaines ou des mois à essayer de prouver une formule ou un théorème qui s’avérerait finalement faux. » Mais il ajoute qu’on ne sait pas quelle sera l’ampleur de son impact.

Lors d’une conférence de presse, Davies a déclaré aux journalistes que le projet lui avait donné une « réelle appréciation » de la nature de la recherche mathématique. Apprendre les mathématiques à l’école s’apparente à jouer des gammes au piano, a-t-il ajouté, alors que le travail des vrais mathématiciens s’apparente davantage à des improvisations de jazz.

Williamson convient que le travail met en évidence un aspect des mathématiques plus passionnant que ce que les gens voient normalement. « En tant que chercheurs en mathématiques, nous vivons dans un monde riche en intuitions et en imaginations », dit-il. « Jusqu’à présent, les ordinateurs ont servi le côté sec. La raison pour laquelle j’aime tant ce travail, c’est qu’ils aident de l’autre côté.

« Mon hypothèse personnelle est que les conjectures générées par ordinateur deviendront de plus en plus utiles pour« remplir les détails », mais ne remplaceront jamais l’intuition et la créativité humaines», déclare Weeks.